Обернена пропорційність та її графік

Функція виду , де  – дійсне число, називається оберненою пропорційністю.

Основні властивості функції 

1.   , тому що на нуль ділити не можна.

2.   ,

3. Функція  непарна. Замінивши  на , отримаємо , тобто . Відмітимо, що графік непарної функції симетричний відносно точки  – початку координат.

4. Функція  не має нулів, оскільки рівняння  не має коренів, графік функції  не перетинає вісь .

5. Графік функції  називається гіперболою, яка складається з двох віток. Якщо , то вітки гіперболи розташовані в І і ІІІ координатних кутах, і функція є спадною (рис.5); якщо , то вітки гіперболи розташовані в ІІ і ІV координатних кутах, і функція є зростаючою. Для прикладу оберненої пропорційності, коли , в системі Maple побудуємо графік функції :

Пряма та обернена пропорційність

Дві змінні величини, відношення відповідних значень яких є сталим, називаються ­прямо пропорційними.

Це означає, що при збільшенні (зменшенні) однієї величини в декілька разів у стільки ж разів збільшується (зменшується) друга величина.
Приклади прямо пропорційних величин:1) У випадку руху з постійною швидкістю пройдена відстань прямо пропорційна витраченому часу. (Дійсно, , а швидкість стала.)
2) Якщо купують однаковий товар за фіксованою ціною, вартість товару прямо пропор­ційна його кількості.
3) Периметр квадрата з довжиною сторони а є прямо пропорційним довжині сторони, оскільки , тобто  — стала величина.
Дві змінні величини, добуток відповідних значень яких є сталим, називаються обернено пропорційними.
Це означає, що при збільшенні (зменшенні) однієї величини в декілька разів у стільки ж разів зменшується (збільшується) друга величина.
Приклади обернено пропорційних вели­чин
1) Якщо пройдена відстань залишається сталою, то витрачений час і швидкість обернено пропорційні. (Дійсно, , а s — стала величина.)
2) Ширина і довжина прямокутника сталої площі: .
3) Час, за який буде виконаний певний обсяг роботи, і кількість робітників.
Зверніть увагу на те, що число відсотків деякої величини прямо пропорційно значенню цієї величини. 

Цікаві факти з історії математики

Чому Нобелівська премія не вручається за досягнення в математиці?

Існує думка, що Альфред Нобель не включив математику в список дисциплін своєї премії через те, що його дружина зрадила його з математиком. Насправді Нобель ніколи не був одружений. Справжня причина ігнорування математики Нобелем невідома, але є кілька припущень. Наприклад, на той момент вже існувала премія з математики від шведського короля. Інша — математики не роблять важливих винаходів для людства, так як ця наука має чисто теоретичний характер.


Чим наше число нуль відрізняється від західного?

У нашій математичній літературі нуль не є натуральним числом, а в західній, навпаки, належить до множини натуральних чисел.

Коли святкують день числа Пі?

У числа Пі є два неофіційних свята. Перше — 14 березня, оскільки цей день в Америці записується як 3.14. Друге — 22 липня, яке в європейському форматі записується 22/7, а значення такого дробу є досить популярним наближеним значенням числа Пі.

Хто вирішив складну математичну проблему, прийнявши її за домашнє завдання?Американський математик Джордж Данціг, будучи аспірантом університету, одного разу спізнився на урок і прийняв написані на дошці рівняння за домашнє завдання. Воно здалося йому складніше звичайного, але через кілька днів він зміг його виконати. Виявилося, що він вирішив дві «нерозв’язані» проблеми в статистиці, над якими билося багато вчених умів.

Який математик осягав основи науки по шпалерах в кімнаті?Софія Ковалевська познайомилася з математикою в ранньому дитинстві, коли на її кімнату не вистачило шпалер, замість яких були наклеєні листи з лекціями Остроградського про диференціальне та інтегральне числення.

Яка гра пов’язана з «числом диявола» («число звіра»)?Сума всіх чисел на рулетці в казино дорівнює числу диявола — 666.

Де намагалися законодавчо округлити число Пі?У штаті Індіана в 1897 році був випущений білль, який мав законодавчо встановити значення числа Пі рівним 3,2. Даний білль не став законом завдяки своєчасному втручанню професора університету.

Який математичний закон розкривається в теоремі про двох міліціонерів?

Деякі математичні закони називають по аналогії із ситуаціями в реальному житті. Наприклад, теорема про існування границі функції, яка «затиснута» між двома іншими функціями, що мають однакову границю, називається теоремою про двох міліціонерів. Це пояснюється тим, що якщо два міліціонера тримають між собою злочинця і при цьому йдуть в камеру, то ув’язнений також змушений йти туди.

Який знак замість плюса використовують учні ізраїльських шкіл?

Релігійні євреї прагнуть уникати християнської символіки і взагалі знаків, схожих на хрест. Наприклад, учні деяких ізраїльських шкіл замість знака «плюс» пишуть знак, що повторює перевернуту букву «т».